[시계열] 확률과정 및 시계열 이론(1)

확률과정(Random process, Stochastic process):

• 의미: 확률변수의 순서열(sequence of infinit random variables)
• 확률과정$Y = \{\cdots, Y_{-1}, Y_0, Y_{1}, \cdots\}$
  • 확률변수$Y_t$는 평행우주 t시간의 표본 generator
• 시계열 자료는 확률 과정의 표본
• 앙상블 평균$E[Y_t]$: 복수의 시계열 자료 표본에서 특정한 시간 t의 값만 평균(평행우주에서 $y_t$시간 값만 추출)
  • 현실세계는 불가능: 현실세계가 표본 하나
  • 앙상블 평균 추정의 조건
    • 정상과정(stationary process) & 에르고딕 과정(ergodic process)

1. 확률과정의 기댓값, 자기공분산, 자기상관계수

• ‘자기(auto)’: 표본 하나의 set 내에서의 cov & cor
• 확률과정 기댓값: $\mu_t = E[Y_t]$
• 자기공분산(auto-covariance): 방향 & 거리
  • $\gamma_{t, s}=Cov[Y_t, Y_s]=E[(Y_t - E[Y_t]) \cdot (Y_s - E[Y_s])]$
• 자기상관계수(auto-correlation): 방향
  • $\rho_{t,s} = \dfrac{\gamma_{t,s}}{\sqrt{\gamma_t \gamma_s}}= Corr[Y_t, Y_s] = \dfrac{Cov[Y_t, Y_s]}{\sqrt{Var[Y_t] \cdot Var[Y_s]}} \leq 1$

2. 정상확률과정

• $Y_1, Y_2, \cdots$의 평균, 표준오차 등이 변하지 않음.
• 쉽게 말하자면, 평균, 분산 등 모멘트 공식에 절대시간 t변수가 없고, 시차 k변수가 존재(이후 MA, AR 모델 등에서 확인)
• 즉, 에르고딕 성질에 의해, 표본들이 하나의 generator에서 생성됨

2.1. 자기공분산: 시간 변수의 차이lag $k$에만 의존

$\gamma_{t, t+k} = \gamma_{0,k} \triangleq \gamma_k$

2.2. 자기상관계수: 시간 변수의 차이lag $k$에만 의존

$\rho_{t, t+k} = \rho_{0,k} \triangleq \rho_k = \dfrac{\gamma_k}{\gamma_0}$

• eg) ACF of AR(1): $\rho_k=\dfrac{\gamma_k}{\gamma_0}=(-\phi)^k \rightarrow \phi<0$ 그래프는 진동

2.3 정상확률과정 특징

• 확률과정 특성은 확률변수$Y_t$의 결합확률밀도함수 사용
• 협의의 정상확률과정(strictly stationary process): 모든 모멘트가 ‘절대시간’에 의존하지 않고 시차lag에만 의존
  • $E[Y_t Y_{t+k_1} \cdots] = E[Y_s Y_{s+k_1 \cdots}]$
• 광의의 정상확률과정(weak stationary process)
  • 1, 2차 모멘텀에 대해서만 ‘절대시간’ 의존하지 않음
  • $E[Y_t] = E[Y_s] = \mu$
  • $E[Y_t Y_{t+k}] = E[Y_s Y_{s+k}]$
• 순수하게 백색잡음이라면, 어떤 시차lag에서도 자기상관$\rho$는 1

3. 에르고딕 성질

• 정상확률 과정의 확률변수들($Y_t, Y_{t+1}, \cdots$)은 무조건부 분포 동일
• 따라서 현실 시계열 데이터를 하나의 분포에서 나온 표본 데이터로 간주
• moment method(점 추정)에 따라 모수추정 가능: $\mu = E[X] = \bar{x}$

4. 백색 잡음 white noise

• 확률과정 $\epsilon = \{\epsilon_1, \epsilon_2, \cdots\}$
• $\epsilon_t \sim i.i.d$(independent and identically distributed)

5. 랜덤 워크 Random walk

• IMA(1,0)
• 과거 백색잡음의 cumsum

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Appendix

A1. Non-stationarity

Trend & Seasonality

• Trend
• Seasonality: additive or multiplicative

A2. Stationarity

A white noise series(sequence of random numbers)

• a flat looking series
• no trend
• no constant variance over time
• no a constant autocorrelation structure over time
• no periodic fluctuations

A3. STL(Seasonal and Trend Decomposition using Loess)

A4. Application

• explanation
• control: identify anomal
• forecasting

A5. Remove trend and seasonality

$$X_t = \mu_t + S_t + Z_t$$

• $\mu_t$ trend component: 추정 방법 3가지
  • LSE: deterministic $\mu_t = f(t)$
  • Smoothing by rolling mean: stocahstic, ARIMA
  • Differencing: stocahstic, ARIMA
• $S_t$: seasonal component
• $Z_t$: random noise component

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예시) CO2 Data

import statsmodels.api as sm
data = sm.datasets.get_rdataset("CO2", package="datasets")
df = data.data

def yearfraction2datetime(yearfraction, startyear=0):
    import datetime
    import dateutil
    year = int(yearfraction) + startyear
    month = int(round(12 * (yearfraction - year)))
    delta = dateutil.relativedelta.relativedelta(months=month)
    date = datetime.datetime(year, 1, 1) + delta
    return date

df["datetime"] = df.time.map(yearfraction2datetime)
df["month"] = df.datetime.dt.month
df.tail()

	time	value	datetime	month
463	1997.583333	362.57	1997-08-01	8
464	1997.666667	360.24	1997-09-01	9
465	1997.750000	360.83	1997-10-01	10
466	1997.833333	362.49	1997-11-01	11
467	1997.916667	364.34	1997-12-01	12

plt.plot(df['value'])

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x7ff3474934e0>]

질문

• Moving Average, Smoothing, differencing 관계